シンプレクティック性と解析力学¶

シンプレクティック記法¶

解析力学の特徴は， Hamilton Eq. における一般化座標と共役な運動量 $q_k,p_k$ の対称性である．対称性を活かして，N自由度系の状態を2N次元の相空間中の点rで表して，

$r = \left[ \begin{array}{c} q_1 \\ q_2 \\ \vdots \\ q_N \\ p_1 \\ p_2 \\ \vdots \\ p_N \end{array} \right]$

とすれば， Hamilton Eq. は以下の一つの式で表すことができる．

$\dot{r}_i = \sum_{j=1}^{2N} J_{ij} \dfrac{ \partial H }{ \partial r_j }$

これを シンプレクティック記法 という．

シンプレクティック記法の行列 $\bm{J}$ ¶

行列 $\bm{J}$ は，

$\bm{J} = \left[ \begin{array}{cc} \bm{0} & \bm{1} \\ - \bm{1} & \bm{0} \end{array} \right]$

で表される行列であり，以下のような性質がある．

転置行列について

$\bm{J}^T = \left[ \begin{array}{cc} \bm{0} & - \bm{1} \\ \bm{1} & \bm{0} \end{array} \right] = - \bm{J}$

逆行列について

$\bm{J} \bm{J}^T = \bm{J}^T \bm{J} = \bm{1} = \left[ \begin{array}{cc} \bm{1} & \bm{0} \\ \bm{0} & \bm{1} \end{array} \right]$

$\bm{J}^T = \bm{J}^{-1} = - \bm{J}$

行列の二乗について

$\bm{J}^2 &= - \bm{1} \\ | \bm{J} | &= 1$

シンプレクティック条件¶

ここで取り扱うシンプレクティック条件は， シンプレクティック記法における正準変換の条件 である．正準変換の条件は，正準変換の直接条件を満たせばよかった．シンプレクティック条件はより見通しの良い表記になる．

正準変換 $(q_i,p_i) \rightarrow (Q_i,P_i)$ のシンプクレクティック記法 $r_i \rightarrow R_i$ を考える．正準方程式は，

$\dot{R}_i = \sum^{2N}_{j=1} J_{ij} \dfrac{ \partial H }{ \partial R_j }$

左辺を変形すると，

$\dot{R}_i &= \sum^{2N}_{m=1} \dfrac{ \partial R_i }{ \partial r_m } \dot{r}_m \\ &= \sum^{2N}_{m=1} \sum^{2N}_{k=1} \dfrac{ \partial R_i }{ \partial r_m } J_{mk} \dfrac{ \partial H }{ \partial r_k } \\ &= \sum^{2N}_{m=1} \sum^{2N}_{k=1} \sum^{2N}_{j=1} \dfrac{ \partial R_i }{ \partial r_m } J_{mk} \dfrac{ \partial R_j }{ \partial r_k } \dfrac{ \partial H }{ \partial R_j } \\$