ハミルトニアンによる運動の記述¶

正準方程式 ( Hamilton方程式：Hamilton's Equations )¶

解析力学の最重要式 . 運動方程式は，一般化座標 $q$ と共役な運動量を用いて，次のように表せる．

$\dot{q} = + \dfrac{ \partial H }{ \partial p } \\ \dot{p} = - \dfrac{ \partial H }{ \partial q }$

多次元の場合，

$\dot{q_k} = + \dfrac{ \partial H }{ \partial p_k } \\ \dot{p_k} = - \dfrac{ \partial H }{ \partial q_k }$

一般化座標と共役な運動量は対称的な(符号が異なるだけ)式で表せる．

ハミルトン方程式の導出¶

ハミルトン方程式は，ラグランジュ方程式への ルジャンドル変換の適用 によって得られる．ラグランジュ形式の運動方程式は，

$p_i &= \dfrac{ \partial L }{ \partial \dot{q_i} } (q_1,\cdots,q_N, \dot{q_1},\cdots,\dot{q_N} ) \\ \dot{ p_i } &= \dfrac{ \partial L }{ \partial q_i } (q_1,\cdots,q_N, \dot{q_1},\cdots,\dot{q_N} )$

を与えるが，この後の操作を考えると，直接，

$\dot{ q_i } &= F_q (q_1,\cdots,q_N, p_1,\cdots,p_N ) \\ \dot{ p_i } &= F_q (q_1,\cdots,q_N, p_1,\cdots,p_N )$

を与えてくれた方が便利である．そのために，ルジャンドル変換を適用する．

ラグランジアン $L(q,\dot{q})$ を $\dot{q}$ に関してルジャンドル変換すると， $H(q,p)$ (1次元)が次の表式で得られる．

$H(q,p) = p\dot{q} - L(q,\dot{q})$

多次元でも同様．これにより，ハミルトン方程式 ( Hamilton Eq. )は，

$\dot{q_i} &= + \dfrac{ \partial H }{ \partial p_i } \ \ \ ( 1 \ge i \ge N ) \\ \dot{p_i} &= - \dfrac{ \partial H }{ \partial q_i } \ \ \ ( 1 \ge i \ge N )$

となる．

リウヴィルの定理 ( Liouville's Theorem )¶

力学法則は，位相空間体積を保存する．位相空間上のとある領域を考える．領域内の運動は，無限次元ベクトル

$u= \left[ \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_N \\ u_{N+1} \\ u_{N+2} \\ \vdots \\ u_{2N} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \dot{q}_1 \\ \dot{q}_2 \\ \vdots \\ \dot{q}_N \\ \dot{p}_{N+1} \\ \dot{p}_{N+2} \\ \vdots \\ \dot{p}_{2N} \end{array} \right]$

これに対して，発散をとると，

$\nabla \cdot u &= \sum_{j}^N \dfrac{ \partial u_j }{ \partial q_j } + \sum_{j}^N \dfrac{ \partial u_j }{ \partial p_j } \\ &= \dfrac{ \partial \dot{q}_j }{ \partial q_j } + \dfrac{ \partial \dot{p}_j }{ \partial p_j } \\ &= \dfrac{ \partial }{ \partial q_j } \dfrac{ \partial H }{ \partial p_j } - \dfrac{ \partial }{ \partial p_j } \dfrac{ \partial H }{ \partial q_j } \\ &= 0$

より，位相空間流れ $u$ は，非圧縮流であることがわかる．つまり，とある領域内に含まれる体積は，保存される．

Hamilton方程式の座標変換 ( 正準変換 )¶

Lagrangeの運動方程式は点変換に関して，形を変えない．
Hamilton方程式に対して，どのような変換（写像）がHamilton方程式を不変とするのか？
このような変換は存在し，これを正準変換という．

正準変換の直接条件¶

正準変換である 必要十分条件 は次である．

$\dfrac{ \partial Q_i }{ \partial q_j } &= + \dfrac{ \partial p_j }{ \partial P_i } \\ \dfrac{ \partial Q_i }{ \partial p_j } &= - \dfrac{ \partial q_j }{ \partial P_i } \\ \dfrac{ \partial P_i }{ \partial p_j } &= + \dfrac{ \partial q_j }{ \partial Q_i } \\ \dfrac{ \partial P_i }{ \partial q_j } &= - \dfrac{ \partial p_j }{ \partial Q_i } \\$