ラグランジアンによる運動の記述¶
ラグランジアン( Lagrangian ) の導入¶
まず, Lagrangian L の一つの例として以下のようなものが挙げられる.
ここで,Kは運動エネルギー,Uはポテンシャルエネルギーであり,Lagrangian は,不定であることに注意されたし.( cf. スカラーポテンシャル・ベクトルポテンシャルの不定性 )
ラグランジュの運動方程式 ( Euler-Lagrange Eqs. )¶
ラグランジュの運動方程式は,以下の最小作用の原理から,変分法を用いて導出される. ラグランジアン L を一般化座標qに共役な運動量pを用いて, として表して,
最小作用の原理 ( Hamilton の原理 )¶
時刻 から の間の作用積分Sは, Lagrangian を用いて,
として表す.力学法則は,作用積分Sを最小化する.(こうなるように決まっている.何故かは知らない.これが原理!!)
一般化座標に共役な運動量 ( ) と循環座標¶
一般化座標 に対応する運動量を共役な運動量といい,次の式で表す.
ラグランジアン が一般化座標系 に無関係であるとき,一般化座標系 を 循環座標 という.つまり,
の時, Euler-Lagrange Eqs. より,
より, 循環座標に共役な運動量は保存する ( cf. 軸対称系における角運動量保存則 ).
点変換¶
座標変換する際に, 全ての座標点が一対一対応し,逆変換が存在する時,これを点変換という .つまり,
で表される一対一の写像.例えば 正則行列による線形写像 では, 一対一対応し,逆変換が存在し,点変換に相当する. つまり,点変換は,逆行列が存在するフルランク写像(正則行列)みたいな(線形変換とは限らないので)変換である.
ラグランジュ方程式の不変性¶
ラグランジュ方程式 ( Lagrange Eqs. ),
は, 点変換に関して形を変えない . つまり,任意の一対一の座標変換(点変換)をいくら実行しても, ラグランジュ方程式は常にこの式のままである. 機械的に方程式を立てて,解く際には非常に好ましい性質 である.