二次電子モニタ測定系の等価回路解析 (2)¶

パラメータからみた波形の妥当性¶

**観測波形と回路定数から推定される理論値の比較**¶
項目	観測波形	回路定数より推定した理論値
振幅 $V_{p-p}$ (V)	0.8-1.2	1.0
時定数 $\tau_{RC}$ (ms)	1.0-2.5
オフセット $V_{O}$ (V)	0.4	0.4

理論値の計算 (1) （振幅と時定数）¶

入力信号の平均電流値は $I_0=1 (\mu A)$ を考える．
- PHITSを用いた出力信号のシミュレーション値（金属板を 200 uA ビームで撃った際の二次電子放出量）
- 出力信号の波高値としては、ビームデューティ 0.13 ％で割って、 $i_0=0.77 (mA)$ とする．
入力容量 20 (pF) とケーブル容量 2.5 (nF) の合成キャパシタンスは、ケーブル容量が支配的と考えられるので、ほぼケーブル容量 ( 2.5 (nF) )としてよい．
ビームパルスの出力時間 ( $\tau_1$ )は、3 (us) とする．
- 式中の $x=\tau_1 / R_M C_{eff} << 1$ であるため、 Taylor 展開より $exp(x) \sim 1+x$ が使用できる．
- ここで、 $x=\tau_1 / R_M C_{eff} = 3 us / 2.5 ms = 1.2 \times 10^{-3}$ である．

振幅¶

$V_{p-p} &= i_0 R_M \left[ 1 - e^{ - \dfrac{\tau_1} {R_M C_{eff}} } \right] \\ & \sim i_0 R_M \dfrac{\tau_1} {R_M C_{eff}} \\ & \sim ( 0.77 \times 10^{-3} ) \times ( 1 \times 10^6 ) \times (1.2 \times 10^{-3}) \\ & \sim 0.92 (V)$

信号出力が 0.8-1.2 (V) 程度であることが説明できる．

時定数¶

$\tau_{RC} = R_M C_{eff} = ( 1 \times 10^{6} ) \times ( 2.5 \times 10^{-9} ) = 2.5 \times 10^{-3} (s) = 2.5 (ms)$

時定数が 1.0-2.5 (ms) 程度であることが説明できる．

理論値の計算 (2) （オフセット）¶

オフセットは、繰り返し周波数を上昇させたときのみ、発生．
300 pps での典型値は 0.4 (V) 程度．
インパルス応答ではなく、周期的なパルス列に対する応答を考えれば、expが有限時間内に減衰しきらない分だけオフセットが生じる．

インパルス列に対する応答の式¶

$v_{pulse} (t) = \begin{cases} R i_0 \left[ 1 - e^{ -\dfrac{t}{RC} } \right] \ \ &( t < \tau_1 ) \\ R i_0 \left[ 1 - e^{ -\dfrac{\tau_1}{RC} } \right] e^{ \dfrac{t-\tau_1}{RC} } \ \ &( t > \tau_1 ) \end{cases}$

上記の、t=0 まわりに着目したインパルス応答が、 k=1,2,3,...,n のパルス列が過去に入っていた．これは、時刻、 $t_0^{(k)}=-1 \times \Delta T, -2 \times \Delta T,..., -n \Delta T$ に発火したパルスである．発火の周期が $\tau_1$ より長いとして２式に着目し、統一した時間の関数として各インパルス応答を記述すると、

$v_{pulse} (t-t_0^{(k)}) &= R i_0 \left[ 1 - e^{ -\dfrac{\tau_1}{RC} } \right] e^{ \dfrac{t-t_0^{(k)}-\tau_1}{RC} } \\ &= R i_0 \left[ 1 - e^{ -\dfrac{\tau_1}{RC} } \right] e^{ \dfrac{t- k\Delta T-\tau_1}{RC} } \\ &= v_{pulse}(t) e ^{ - \dfrac{k \Delta T}{RC} }$

k=1,2,...,n まで足し合わせて、 $n\rightarrow \infty$ とすれば、

$v_{offset} &= \lim_{n \rightarrow \infty } \sum _{k=1}^{n} v_{pulse}(t) e^{ - \dfrac{k \Delta T}{ RC } } \\ &= v_{pulse} (t) \sum_{k=1}^{\infty} e^{ - \dfrac{k \Delta T}{ RC } }$

ここで、初項 $a_1=e^{- \Delta T / RC }$ , 公比 $r=e^{- \Delta T / RC } ( |r| < 1 )$ の無限等比級数の和は、

$S_\infty = \lim_{N\rightarrow \infty} S_N = \lim_{N\rightarrow \infty} a_1 \dfrac{1-r^N}{1-r} = \dfrac{a_1}{1-r}$

であるから、

$\sum_{k=1}^{\infty} e^{ - \dfrac{k \Delta T}{ RC } } = \dfrac{ e^{- \Delta T / RC } }{ 1 - e^{- \Delta T / RC } }$

より、 $t=\tau_1$ におけるオフセットは

$v_{offset} &= v_{pulse}(\tau_1) \dfrac{ e^{- \Delta T / RC } }{ 1 - e^{- \Delta T / RC } } \\ &= R i_0 \left[ 1 - e^{ - \dfrac{\tau_1}{RC}} \right] \dfrac{ e^{- \Delta T / RC } }{ 1 - e^{- \Delta T / RC } }$

例えば、 $R=1 (M\Omega) , C=2.5 (nF), \Delta T=3.3 (ms), i_0=0.77 (mA), \tau_1=3 (us)$ を使用すれば、

$v_{offset} &= 10^6 \times 0.77 \times 10^{-3} \left[ 1 - e^{ - \dfrac{ 3 \times 10^{-6} }{ 2.5 \times 10^{-3} } } \right] \dfrac{ e^{- 3.3 / 2.5 } }{ 1 - e^{- 3.3 / 2.5 } } \\ &= 0.92 \times 0.365 \\ &= 0.335 (V)$

となる．これは、実験的に観測した値 0.4 (V) を説明できると考えられる．

数値的に模擬¶

出力信号を、解析的にではなく、数値的に模擬してみた．

import os, sys
import numpy as np

# ========================================================= #
# ===  calculate__past_kth_signal                       === #
# ========================================================= #

def calculate__past_kth_signal( time, tau1, tau2, tauRC, RM, i0, kth ):

    ret   = np.copy( time ) * 0.0
    t1    =  0.0 - kth*tau2
    t2    = tau1 - kth*tau2
    sig1  = time  * 0.0
    sig2  = RM*i0 * ( 1.0 - np.exp( (-1.0)*(time-t1)/tauRC ) )
    sig3  = RM*i0 * ( 1.0 - np.exp( (-1.0)*tau1/tauRC ) ) \
        * np.exp( (-1.0)*tau2/tauRC * kth ) \
        * np.exp( (-1.0)*(time)/tauRC )
    ret1  = np.where(   time< t1           , sig1, 0.0 )
    ret2  = np.where(  (time>=t1)&(time<t2), sig2, 0.0 )
    ret3  = np.where(   time>=t2           , sig3, 0.0 )
    ret   = ret1 + ret2 + ret3
    return( ret )

# ========================================================= #
# ===  SEEmonitor_multiPulseSignal.py                   === #
# ========================================================= #

def SEEmonitor_multiPulseSignal():

    ms          = 1.e-3
    t_, v_, o_  = 0, 1, 2
    
    # ------------------------------------------------- #
    # --- [1] def parameters                        --- #
    # ------------------------------------------------- #
    CC          = 8.4e-9
    RC          = 2.5
    CM          = 20.0e-12
    RM          = 1.0e+6
    tau1        = 3.0e-6
    tau2        = 3.333e-3
    tau3        = 20.0e-3
    nT1         = 11
    nT2         = 51
    I_SEE_ave   = 0.97e-6/200.0 * 210.0 * 1.57
    tau_beam    = 3.0e-6
    f_Repeat    = 300.0
    duty        = tau_beam * f_Repeat
    I_SEE_pulse = I_SEE_ave / duty
    i0          = I_SEE_pulse
    print( " i0 == {}".format( i0 ) )
    
    # ------------------------------------------------- #
    # --- [2] calculation                           --- #
    # ------------------------------------------------- #
    tauRC = RM * ( CC + CM )
    time    = np.linspace( -1.0*tau3, 1.0*tau3, 2001 )
    kth_list = np.arange( -200, 20 )
    vt    = np.copy( time ) * 0.0
    for kth in kth_list:
        vt_iter  = calculate__past_kth_signal( time, tau1, tau2, tauRC, RM, i0, kth )
        vt      += vt_iter

    a0    = RM*i0 * ( 1.0-np.exp( -1.0*tau1/tauRC ) )
    r     = np.exp( -1.0*tau2/tauRC )
    S_inf = a0 * r/( 1.0-r )
    v_ofs = np.zeros_like( time ) + S_inf

    time  = np.reshape(  time, [-1,1] )
    vt    = np.reshape(    vt, [-1,1] )
    vo    = np.reshape( v_ofs, [-1,1] )
    Data  = np.concatenate( [time,vt,vo], axis=1 )

    
    # ------------------------------------------------- #
    # --- [3] save data in a file                   --- #
    # ------------------------------------------------- #
    import nkUtilities.save__pointFile as spf
    outFile   = "dat/SEEmonitor__multiPulseSignal.dat"
    spf.save__pointFile( outFile=outFile, Data=Data, names=["t","v(t)", "i(t)", "q(t)"] )

    # ------------------------------------------------- #
    # --- [4] display in a file                     --- #
    # ------------------------------------------------- #
    import nkUtilities.plot1D         as pl1
    import nkUtilities.load__config   as lcf
    import nkUtilities.configSettings as cfs
    x_,y_                    = 0, 1
    pngFile                  = "png/SEEmonitor__multiPulseSignal.png"
    config                   = lcf.load__config()
    config                   = cfs.configSettings( configType="plot.def", config=config )
    config["FigSize"]        = (4.5,4.5)
    config["plt_position"]   = [ 0.16, 0.16, 0.94, 0.94 ]
    config["plt_xAutoRange"] = False
    config["plt_yAutoRange"] = False
    config["plt_xRange"]     = [ -2.0, +20.0 ]
    config["plt_yRange"]     = [ -0.5, +3.0  ]
    config["xMajor_Nticks"]  = 12
    config["yMajor_Nticks"]  = 8
    config["plt_marker"]     = "none"
    config["plt_markersize"] = 2.0
    config["plt_linestyle"]  = "-"
    config["plt_linewidth"]  = 1.0
    config["xTitle"]         = "$t \ \mathrm{(ms)}$"
    config["yTitle"]         = "$v(t) \ \mathrm{(V)}$"
    fig     = pl1.plot1D( config=config, pngFile=pngFile )
    fig.add__plot( xAxis=Data[:,t_]/ms, yAxis=Data[:,v_] )
    fig.add__plot( xAxis=Data[:,t_]/ms, yAxis=Data[:,o_], linestyle="--" )
    fig.set__axis()
    fig.save__figure()
    return()


# ========================================================= #
# ===   Execution of Pragram                            === #
# ========================================================= #

if ( __name__=="__main__" ):
    SEEmonitor_multiPulseSignal()
    

../../../_images/SEEmonitor__multiPulseSignal.png

計算過程¶

eqn_note.pdf

出力信号の結論¶

上記、回路定数から予想される出力信号と、同等な信号が実験により得られていることから、検討した等価回路モデルが良く実験を表していると考えられる．